Tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{x}{{{\sin }^{2}}x} \) trên khoảng \( (0;\pi ) \) là:
A. \(-x\cot x+\ln (\sin x)+C\)
B. \(x\cot x-\ln \left| \sin x \right|+C\)
C. \(x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C\)
D. \(-x\cot x-\ln (\sin x)+C\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A. Bạn đang xem: Star
\( F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx} \)
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x \\ & dv=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\ & v=-\cot x \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( F(x)=\int{\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x.\cot x+\int{\cot xdx}=-x.\cot x+\int{\frac{\cos x}{\sin x}dx} \)
\( =-x.\cot x+\int{\frac{1}{\sin x}d(\sin x)}=-x.\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C \).
Xem thêm: Cách Xuống Dòng Trong 1 Ô Excel, Cách Xuống Dòng Trong Excel Trong 1 Ô Như Thế Nào
Với \( x\in (0;\pi )\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow \ln \left| \sin x \right|=\ln (\sin x) \).
Vậy \( F(x)=-x.\cot x+\ln (\sin x)+C \).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=mx^3−3mx^2+3m−3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB^2−(OA^2+OB^2)=20 (trong đó O là gốc tọa độ)
Cho hàm số y=2x^3−3(m+1)x^2+6mx+m^3. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB=√2
Cho hàm số y=1/3mx^3−(m−1)x^2+3(m−2)x+2. Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1+2×2=1 khi m = a và m = b. Hãy tính tổng a + b
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−3mx^2+2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và M(1;−2) thẳng hàng
Cho hàm số y=−x^3+3x^2+3(m^2−1)x−3m^2−1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=x^3+x^2+mx−1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp (−5;6)∩S
Biết a/b (trong đó a/b là phân số tối giản và a,b∈N∗) là giá trị của tham số m để hàm số y=2/3x^3−mx^2−2(3m^2−1)x+2/3 có 2 điểm cực trị x1,x2 sao cho x1.x2+2(x1+x2)=1. Tính giá trị biểu thức S=a^2+b^2
Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}"(x)dx} \) bằng
Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(1)=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}"(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng
Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa \( f(1)=1 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}"(\sin x)dx} \)
Hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \). Biết \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left< 1;2 \right> \) thỏa mãn \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \), \( f(2)=0 \) và \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left< {f}"(x) \right>}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \)
Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện \( f(x)+x\left( {f}"(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}"(x)dx} \)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \left< \frac{2}{5};1 \right> \) và thỏa mãn \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left< \frac{2}{5};1 \right> \). Khi đó \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}"(3x)dx} \) bằng
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left< 0;2 \right> \) và thỏa \( f(1)=0 \), \( {{\left( {f}"(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28 \) với \( \forall x\in \left< 0;2 \right> \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng
